4.07.2025

"Igła w stogu siana" - złoty podział w sztuce, architekturze i muzyce, liczba Fibonacciego w codziennym świecie

Od czasów starożytnych odnajdujemy twierdzenia filozoficzne pokrywające się ze współczesnym światem głoszące, że matematyka opisuje idealny świat, jego idee oraz harmonię – także poprzez złoty podział, znany od starożytności. Sam Platon głosił i wierzył w to, że nauki matematyczne systematyzują związki pomiędzy obiektami, odkrywają łączenia strukturalne obserwowanych w nich zależności i faktów. Biorąc pod uwagę idee filozofów matematyczno-egzystencjalnych starożytności, uświadamiamy sobie, że matematyk mocno zaczyna utożsamiać się z filozofem, zatem w konsekwencji okazuje się często jedną i tą samą osobą, ukazującą świat w różnych odzwierciedleniach. Idąc tym tropem matematyczno-filozoficznym, dostrzegamy cień otaczającego nas oblicza świata podobnego do tego starożytnego. Pogłębiając świadomość, widzimy jak ogromną podstawę świata przyrody, medycyny, architektury, a przede wszystkim muzyki stanowi matematyka. Twierdzi się – nie bez powodu – że królowa nauk jest wszechobecna i wszechstronna. Już starożytni zauważyli, że proporcja w architekturze oparta na złotym podziale tworzy efekt harmonii i piękna.

Czym jest złoty podział i liczba Fibonacciego?

Jako pierwsze znane przybliżenie odwrotności złotego podziału odnajdujemy w roku 1597 w liście Michaela Mastlina z tybindzkiego Uniwersytetu do swojego byłego studenta Johannesa Keplera. Wybitny niemiecki matematyk oraz astronom rozwodził się nad tematem skarbów geometrii. W podziale odcinka w sposób złoty zawarł on twierdzenie Pitagorasa, co jednoznacznie wpłynęło na powstanie trójkąta Keplera. To doskonały przykład zastosowania złotego podziału w klasycznej geometrii. Figura ta jest trójkątem prostokątnym o bokach długości 1, √ φ, φ.

Rysunek 1. Trójkąt Keplera
https://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_Keplera

Wyjątkowość złotej liczby można wykazać na wiele sposobów, m. in. ułamku łańcuchowym, pierwiastku czy geometrycznych konstrukcjach. Jednym z najbardziej rozpoznawalnych jej przejawów jest złota spirala forma obecna w przyrodzie i sztuce.

Dzięki Matematykowi Markowi Barr (1871-1950) liczba φ nosi nazwę po najwybitniejszym greckim rzeźbiarzu starożytnego okresu klasycznego Fideaszu (430 r. p.n.e.). Historycy do dzisiejszego dnia zaintrygowani fenomenem boskiej proporcji poszukują kto tak naprawdę ją odkrył, nie ma jednak jednoznacznego źródła gdzie można odnaleźć nazwisko człowieka odpowiedzialnego za jej odkrycie. Ponadto wiele historyków doszukuje się jej w cywilizacji egipskiej i sumeryjskiej. Pewne jest to, że Grecy są odpowiedzialni za poszerzenie wiedzy związanej ze złotym środkiem: Euklides z Aleksandrii (ur. ok. 365 p.n.e., zm. ok. 270 p.n.e.), Fidiasz, Platon (ur. 424/423 p.n.e., zm. 348/347 p.n.e), Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e., zm. ok. 497 p.n.e. ), Hipokrates z Chios ( ur. 470 p.n.e., zm.410 p.n.e.) czy Leonardo Fibonacci.¹ Wszyscy ci uczeni w różny sposób przyczynili się do rozwoju idei złotego podziału.

„Teza dotycząca idealnie matematycznie ujętego świata pochodzi już z XVII wieku. Włoski matematyk Leonardo Fibonacci odkrywa ciąg liczb naturalnych, który został nazwany jego nazwiskiem. Fibonacci określił praktycznie w każdej dziedzinie życia idealny świat matematyczny, który w rzeczywistości istnieje. Złota liczba, która ma ścisły związek z ciągiem, została opisana w dziele Liber Abaci w roku 1202 przez samego twórcę. Ciąg Fibonacciego polega na rekurencyjnym określeniu wyrazów w następujący sposób: pierwszy jest równy 0, następny wynosi 1, a każdy kolejny jest sumą dwóch poprzednich liczb naturalnych. Stosunek dwóch kolejnych wyrazów ciągu (w miarę wzrastania) jest coraz bliższy liczbie φ”².

Symbolizuje on harmonię, złotą oraz boską proporcję. Znajdujemy ją dookoła nas, mimo że często nie zdajemy sobie z tego sprawy. Kolejno w ciągu Fibonacciego odnajduje się złotą spiralę, która zawarta jest w wielu aspektach życia. Jest to krzywa przechodząca przez punkty podziału kolejnych prostokątów, utworzona z ćwiartek odpowiednich okręgów, bardzo bliska spirali logarytmicznej.

Ciąg Fibonacciego znajduje się dookoła nas i ma mnóstwo zastosowań w codziennym życiu.

Złoty podział w architekturze

Złoty podział staje się matematycznym przepisem na piękno i ukształtowanie budowanego świata. Daje charakter architekturze, cieszy oko i pozwala zadowolić wielu wewnętrznych perfekcjonistów lubujących się w odnajdywaniu idealnych form w życiu codziennym. Świadomość tą posiadali Grecy podczas tworzenia jednej z najsłynniejszych form ówczesnych czasów – Partenonu powstałego na ateńskim Akropolis. Front budowli zawarty jest w złotym prostokącie – stosunek jego boków można wyrazić przez złotą liczbę. To przykład, jak proporcja w architekturze była stosowana od tysięcy lat – instynktownie lub świadomie.

Rysunek 2. Partenon

https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/

Następnym z przykładów, może być architektoniczne piękno opery w Sydney, którą większość kojarzy z nietuzinkowego wyglądu. W wielu przypadkach nie ma żadnych dowodów, że twórcy podczas budowy lub projektowania znanych nam dobrze reklam komercyjnych posługiwali się zasadą złotego podziału. W wielu przypadkach taką prawidłowość można stwierdzić już po samym fakcie ukończenia różnego rodzaju projektów. Tak naprawdę złoty podział jest czymś naturalnym, jak pochodzenie wielu dźwięków z natury w otoczeniu człowieka. Umysł człowieka został w pewnym rodzaju, wręcz „zaprogramowany”, by stosować tę zasadę, nie mając do końca często świadomości jak mocno ideologia złotego podziału ma byt w rzeczywistości. Ludzie mają prawo do subiektywnych opinii czy coś jest atrakcyjne lub nie. Czasem używa się stwierdzenia „piekło perfekcjonisty”, gdzie oko lubi nacieszyć się geometrycznym ładem, zaspokajając wewnętrze potrzeby ładu, spokoju oraz harmonii.

Rysunek 3. Opera w Sydney
https://www.pawelkepa.pl/pl,236,zloty-podzial-w-marketingu

Kolejnym przykładem, do którego możemy się odwołać jest Brama Brandenburska. Charakterystyczny punkt berlińskich wycieczek, co roku odwiedza ogrom turystów przyciągając do swojego matematycznego piękna. Niemiecki architekt Gotthard Langhans wykorzystał złoty podział do utworzenia planu budowy.

Rysunek 4. Brama Brandenburska
https://slideplayer.pl/slide/836525/

Kolejno również ma on swoje zastosowanie w formach pięciokątnych. Przykład, który od razu nasuwa się na myśl to budynek Pentagonu. Co ciekawe, złota spirala pojawia się również w założeniach geometrycznych niektórych konstrukcji, nawet jeśli nie jest zaplanowana świadomie.

Rysunek 5. Pentagon z lotu ptaka
https://polityka.se.pl/wiadomosci/bedzie-stale-polaczenie-telefoniczne-pentagonu-z-rosyjskim-ministerstwem-obrony-aa-1K1V-tt2q-ryUZ.html

Złota proporcja w malarstwie i rzeźbie

Jeden z najsłynniejszych obrazów wszechczasów, również posiada złoty środek, mowa oczywiście o legendarnej Mona Lisie Leonarda da Vinciego. To, jak precyzyjnie da Vinci stosował proporcje, jest dowodem na to, jak głęboko matematyka w sztuce przenikała jego twórczość.

Rysunek 7. Mona Lisa - Leonardo da Vinci
https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/

Natomiast w rzeźbie może odnaleźć ją w postaci Apollo Belwederskiego wykonanego przez Leocharesa ok. IV p.n.e. Linia I dzieli postać na dwie równe części, zamykając ją w dalszym ciągu w złotej proporcji, natomiast linia E jest odpowiedzialna za jej wskazanie, kolejno linia O ukazuje podział nóg w kolanach wg złotego cięcia. To tylko jeden z dowodów, że matematyka w sztuce ma swoje trwałe miejsce i wpływa na kompozycję dzieł wielkich mistrzów.

Rysunek 8. Apollo Belwederski
https://lodz.niedziela.pl/artykul/106303/Apollo-Belwederski-znowu-dostepny-dla

Złoty podział w przyrodzie - liście, kwiaty i naturalne rytmy

Szwajcarski przyrodnik oraz filozofa Charles Bonnet (1720-1793) zauważył zależność w liściach poszczególnych roślin, a dokładnie cykliczny układ liści na ich łodydze dla wybranych gatunków. Ulistnienie skręca zgodnie ze wskazówkami zegara, w bardzo podobny sposób w stosunku do wyrazów występujących w ciągu Fibonacciego, np. pędy krwawnika.

Rysunek 9. Krwawnik
https://www.goldennumber.net/plants/

Również można go odnaleźć w ilości płatków u głów kwiatków, np. stokrotek. Różne gatunki stokrotek mają różne liczby płatków, ale najczęściej są to liczby Fibonacciego (21, 34, 55, 89) jak i w roślinach pięciokątnych.

Rysunek 10. Policzalne płatki kwiatów wg ciągu
https://www.youtube.com/watch?v=chnQgMlvSs4

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie i kosmosie

Wymiary Ziemi oraz Księżyca znajdują się w położeniu trójkąta Keplera.

Rysunek 11. Ziemia w położeniu trójkąta Keplera
https://www.goldennumber.net/solar-system/

Ponadto złoty podział również odnajdziemy na szóstej planecie od Słońca, gazowy olbrzym Saturn w swoich wymiarach oraz i pierścieniu posiada złotą miarę.

Rysunek 12. Podział Saturna
https://www.goldennumber.net/solar-system/

Średnica Saturna jest mocno zbliżona w relacji fi do średnicy pierścieni (zielone linie na ilustracji). Podział wewnętrznych pierścieni jest również w relacji fi ze średnicą pierścienia na zewnątrz sfery planety (niebieskie linie). Podział Cassiniego
w pierścieniach Saturna przypada na Złoty Podział szerokości jaśniejszej, zewnętrznej części pierścieni. Dokładniejsze przyjrzenie się pierścieniom Saturna pozwala dostrzec, że wewnętrzny pierścień jest ciemniejszy i ma takie same proporcje złotego przekroju jak jaśniejszy pierścień zewnętrzny.

Złoty podział w anatomii człowieka i strukturze DNA

Człowiek witruwiański (Leonardo da Vinci, ok. 1490) na pierwszy rzut oka ideał mężczyzny w swoich proporcjach muskulatury i wymiaru, wpisany w okrąg i kwadrat w dwóch pozycjach.

Rysunek 14. Człowiek witruwiański - Leonardo da Vinci
https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/

Określenie złotej liczby poprzez proporcje człowieka można wyliczyć w następujący sposób:

• wzrost człowieka przez odległość od stóp do pępka
• odległość od pępka do czubka głowy przez odległość od ramion do czubka głowy
• odległość od ramion do czubka głowy przez odległość od brody do czubka głowy
• wysokość twarzy przez jej szerokość
• odległość od kolana do pępka przez odległość od kolana do stopy
• odległość od koniuszków palców do łokcia przez odległość od nadgarstka do łokci

W 1957 roku Dr Robert Landgridge, pionier w dziedzinie grafiki molekularnej na podstawie rozprawy dot. rentgenografii krystalograficznej, budowy modeli i badań obliczeniowych struktury DNA, wykazał dwa rowki w swoich spiralach, ze stosunkiem większego do mniejszego rowka lub w przybliżeniu 21 angstremów do 13 angstremów. DNA w komórce pojawia się jako dwuniciowa helisa określana jako B-DNA.

Rysunek 16. Struktura DNA
https://www.goldennumber.net/dna/

Matematyka w muzyce – złota spirala w dźwiękach

Jakie ma to odzwierciedlenie w muzyce? Antonio Stradivari - włoski lutnik, jeden z najsławniejszych lutników wszechczasów wykorzystywał złoty podział w budowaniu własnych skrzypiec.

Według danych zebranych przez krytyka sztuki Leonida L. Sabaneev, który w 1925 roku przeanalizował 1770 utworów muzycznych 42 autorów. Odkrył, iż większość dzieł poddanych analizie zawiera złoty podział, który nadaje szczególną harmonię w kompozycji muzycznej. Najwięcej dzieł, w których odnajdujemy złotą część to: Beethoven i Haydn (97%), Arensky (95%), Chopin (92%), Mozart i Schubert (91%).

U Mozarta w większości złoty podział został wykorzystany w sonatach, natomiast u Beethovena odnajdujemy go w V Symofnii c-moll op. 67, której właściwości oparte są na samej liczbie. Złoty podział również dostrzegamy w dziełach króla baroku Jana Sebastiana Bacha. Analizując fugi czy kantanty odnajdujemy go w przebiegu linii melodycznej, harmonii czy podczas użycia złotego ciągu podczas frazy. Idealnym ukazaniem złotego podziału w muzyce jest utwór Béli Bartóka Muzyka na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę. Utwór jednego z najwybitniejszych kompozytorów XX wieku obejmuje 89 taktów. Ekspozycja występuje po 21 taktach, a moment kulminacyjny pojawia się w 55 takcie. Instrumenty wchodzą w określonym momencie, zostają uporządkowane przez Bartóka w następujący sposób: altówka I, II – takt pierwszy, altówka III, IV – takt piąty, wiolonczela I, II – takt ósmy skrzypce II – takt trzynasty. Stosunek długości taktów jest bliski złotej liczbie. Kolejnym kompozytorem, który wykorzystał w swojej twórczości złoty podział jest Krzysztof Meyer. W jego utworze Trio klarnetowe należy zauważyć regularność powtarzalności matematycznej pochodzącej ze złotego podziału. Wygląda to w następujący sposób: wszystkie instrumenty grają kolejno 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut. Kolejna część została przypisana do fortepianu, która liczy odpowiednio 89, 55, 34, 21 oraz 12 ćwierćnut, na bazie których skomponowano dzieło Naszą idealną złotą spiralę możemy odnaleźć w wielu innych dziełach muzycznych, m.in. w Kanonie D-dur Johanna Pachelbela. Kanon D-dur jest tzw. „książkowym odzwierciedleniem wzoru pierwszych liczb Fibonacciego³.

Złotą proporcję odnajdujemy w przedmiotach i chwilach dnia codziennego. Bezdyskusyjnie należy przyznać każdemu nauczycielowi/nauczycielce matematyki rację, non stop powtarzającym swoim podopiecznym w szkolnych ławkach, że matematyka jest królową nauk i jest wszędzie. Można byłoby wymieniać jeszcze wiele przykładów odnalezienia φ w proporcjach znaczków pocztowych, reklam, logach największych firm, w dokumentach czy akcesoriach do gier, a nawet i rysunku czy samej teologii. Ukazuje nam jak bardzo ważna jest harmonia i piękno w budownictwie, sztuce oraz wielu innych dziedzinach. Przysłowiowa „igła w stogu siana” nie musi być już anonimowa, może z dumą głośno nosić swoje imię liczby φ. Złoty podział to nie tylko matematyczny wzór – to sposób, w jaki porządkujemy chaos rzeczywistości. To właśnie dzięki matematyce w sztuce, architekturze i muzyce dostrzegamy to, co nie zawsze widoczne gołym okiem – harmonię.

---

1. https://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82oty_podzia%C5%82
2. G. Pisiak, „Diabolus in musica”. Tryton w muzyce w kontekście symboliki i brzmieniowych właściwości interwału, Rzeszów 2022, s. 8
3. G. Pisiak, „Diabolus in musica”. Tryton w muzyce w kontekście symboliki i brzmieniowych właściwości interwału, Rzeszów 2022, s. 9

 

Autorka:

 

Gabriela Pisiak – pianistka z ponad 20-letnim doświadczeniem. Absolwentka Instytutu Muzyki UR oraz Chórmistrzostwa i Emisji Głosu na Akademii Muzycznej im. Feliksa Nowowiejskiego w Bydgoszczy. Autorka projektu opracowywania skal muzycznych na podstawie danych astronomicznych, prezentowanego na wielu ogólnopolskich oraz zagranicznych konferencjach naukowych. Rozwija szerokie pojęcie trytonu we współczesnej muzykologii, inspirując się niekonwencjonalnym połączeniem muzyki klasycznej i popularnej.